CULTURA Y MATEMÁTICA, ¿POR QUÉ NO?


María Vega - Posted on 16 May 2011

 CULTURA Y MATEMÁTICA, ¿POR QUÉ NO?

María Vega, EE.PP. de la Sagrada Familia de Écija, Sevilla, España
Chema Cardeñoso, Universidad de Granada, España
Pilar Azcárate, Universidad de Cádiz, España

Cuando un profesor novel se enfrenta, lleno de ilusión e inseguridades, a sus primeros años de docencia en matemáticas tiende a realizar lo único que conoce aún cuando, como alumno, no estaba satisfecho. Por eso se hace necesaria la comunicación de prácticas alternativas a las centradas en la enseñanza y el profesor hacia otros modelos centrados en el aprendizaje y los alumnos, tal y como proponemos desde Ires. En esta comunicación, presentamos el diseño e implementación de dos propuestas metodológicas basadas en el trabajo colaborativo entre pares para el desarrollo de un proyecto de trabajo para la geometría de la Educación Secundaria Obligatoria española. Estas propuestas consisten utilizar lo cotidiano para generar conocimiento matemáticos, por ello el logro final de la primera es la producción de una maqueta de una de las torres de su pueblo, Écija, conocido como la Ciudad de las Torres; y de la segunda la construcción a escala de su cocina. Con ellas comprobamos como el nivel competencial de nuestros estudiantes aumenta tanto en geometría como en las competencias básicas o transversales, así como su motivación y, lo que es más importante, el grado de satisfacción del alumnado y profesorado implicado, porque otra forma de enseñar, y aprender, es posible.

INTRODUCCIÓN
Cuando un profesor no se siente satisfecho con el proceso de enseñanza aprendizaje del que forma parte, es el momento de plantearse un cambio (Rodríguez, 2005). Este es un privilegio que tenemos los profesionales de la enseñanza, y que no poseen la otra parte implicada en el proceso. Aprovechémoslo, ¿cómo? Con todos los recursos que tengamos disponibles y si aún así seguimos descontentos, debemos utilizar nuestra intuición e imaginación profesionalizada, ya que nosotros somos los únicos capaces de responder satisfactoriamente a los problemas que nos surgen en el día a día.
En esta comunicación presentamos algunas nuevas maneras de enfrentarnos al quehacer diario de un aula de matemáticas de secundaria. Son producto del feed-back profesional dentro de la filosofía de la RedIres, en la que pensamos que otra forma de enseñar, y de aprender, es posible.

METODOLOGÍA
La manera de organizar los tiempos, espacios y responsabilidades dentro del aula son determinantes en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Por eso comenzaremos por definirnos en este sentido.
Puesto que vivimos en sociedad fuera de nuestras aulas y estamos preparando a nuestros estudiantes para ser competentes en el mundo que les rodea, en nuestras aulas los estudiantes trabajarán en equipo, de 2 a 5 alumnos. Incluso cuando el producto final sea de elaboración individual el proceso se habrá hecho mediante el trabajo entre pares.

 

En algunas ocasiones este trabajo grupal se verá acompañado de explicaciones de tipo magistral para aportar los contenidos que trabajarán en grupo. Este tipo de explicaciones hacen sentir a los alumnos más seguros, puesto que no están acostumbrados a tomar decisiones autónomas en la escuela.
En este sentido, entendemos que el uso, casi exclusivo, de la metodología tradicional dentro las aulas hace que la creatividad y la autoestima de nuestros estudiantes se vaya viendo mermada poco a poco, hasta el punto en el que estén dispuestos a aceptar una respuesta errónea propuesta por el profesor antes de plantearse que la que ellos, individual y grupalmente han propuesto, pueda ser correcta, aún siendo fruto del razonamiento.
Coincidimos con Webb (2000) en que esto puede ser debido a que los modelos que siguen la mayoría de los profesores de matemáticas no son los más adecuados para propiciar que el nivel competencial de sus alumnos aumente. Van den Heuvel-Panhuezen y Becker (2003) indican que las causas provienen del diseño que los docentes hacen de las tareas de aprendizaje. Indican que están basadas en unos principios incuestionables que los profesores utilizan a la hora de diseñar sus tareas y pruebas de evaluación, entre los que se incluyen:

  • Las actividades tienen una única respuesta correcta.
  • La respuesta correcta siempre puede determinarse.
  • Todos los datos necesarios para resolver el problema deben proporcionarse a los estudiantes.
  • Sólo se debe evaluar sobre aquello en que los estudiantes han sido enseñados.
  • Los problemas matemáticos tienen una solución preferente.

Estaremos de acuerdo en que los problemas a los que se enfrenten nuestros alumnos el día de mañana no responden a los principios propuestos por Van den Heuvel-Panhuezen y Becker, por lo que el cambio metodología se hace necesario. Nuestra propuesta se basa en la metodología de trabajos por proyectos (Oliveras, 1996; Freire, 1994), que aunque conocida desde hace tiempo es llamada de innovadora por el reto que supone su uso bien por el desconocimiento que se tiene de ella o bien por no afrontar la perspectiva investigativa que ella implica en Educación Secundaria Obligatoria en España.
En ella, podemos destacar las siguientes pautas y características:

  • Propondremos a nuestros estudiantes un objetivo a conseguir. Siempre debe existir un producto final, que por un lado de sentido a la indagación, requiera de una planificación, ejecución y un logro emergente, en el que se observe el trabajo realizado y del que puedan sentirse orgullosos. De esta manera evitamos que los alumnos estén perdidos. Si los alumnos saben a dónde quieren llegar, ellos mismos son capaces de planificar los pasos que son necesarios para alcanzar su objetivo. Por tanto, proponemos desarrollar una propuesta constructivista usando las ideas de los estudiantes en el proceso de enseñanza-aprendizaje, otorgándoles protagonismo en el proceso de construcción de conocimientos, reconociendo tanto la dimensión individual como social de ese proceso y fomentando en los alumnos actitudes autónomas (Vygosky, 1986).
  • Se realizará mediante el trabajo colaborativo entre pares (Quintina y Moreno, 2004; Gavilán, 2001), el cuál resulta facilitador de la inclusión (López Melero, 2004), característica fundamental de nuestra aula. En un mundo diverso compuesto por personas diversas debemos ser capaces de transmitirles a nuestros estudiantes la necesidad de la tolerancia y el respeto. La experiencia de una educación para todos, y con todos, les preparará para la vida en sociedad como ciudadanos responsables (Lucero, 2003).
  • La evaluación se realizará mediante una rúbrica diseñada por los propios estudiantes inmersos en el proceso, de esta forma, los estudiantes conocen los diferentes niveles de logro que pueden alcanzar en su trabajo, además de posibilitarles que efectúen la evaluación de sus propias realizaciones, conociendo los criterios de calificación con que serán evaluados. Por otra parte, la rúbrica posibilita al docente una calificación, como expresión de una evaluación más intersubjetiva, ecuánime y formativa del trabajos de los estudiantes, mediante una escala negociada que tipifica y ordena las habilidades y desempeño de los estudiantes. Por ejemplo la siguiente dimensión.
  • Se realizará, al menos, un portafolio de aprendizaje en el sentido propuesto por Barbera (1998). Además, el portafolio solicitado se realizará colaborativamente y consistirá en una colección organizada de trabajos y documentos que reflejen su proceso y su rendimiento en relación con los objetivos de aprendizaje y los criterios de evaluación preestablecidos mediante la rúbrica (Serradó, Cardeñoso y Azcárate, 2003; Shulman, 1999).
     La actividad debe ser lo más interdisciplinar posible así como debe ser posible desglosarse en diferentes tareas, de manera que cada alumno pueda encontrar un ámbito en el que se encuentre cómodo o, al menos, en que encuentre actividades a las que pueda enfrentarse con unas mínimas garantías de éxito y potencial evolución.
  • Procuramos aprovechar todos los espacios disponibles, tanto dentro como fuera del colegio, de modo que podamos particularizarnos en la información localista del proyecto, verdadero origen de la implicación del escolar, al afrontar y cuestionar su cultura y así obtener respuestas que permiten el desarrollo de su conocimiento en sentido etnomatemático (Oliveras, 1996).

ALGUNOS PROYECTOS IMPLEMENTADOS
Los proyectos de trabajo que presentamos son algunos de los que hemos diseñado e implementado a lo largo de los 8 últimos años. Todos están centrados en la parte geométrica del currículo de Educación Secundaria Obligatoria en España, puesto que desde el principio la legislación vigente nos proponía que: “El núcleo de geometría en la ESO responde a la finalidad principal de que el alumnado adquiera, por sí mismo, la convicción de que con las herramientas de la geometría se hacen modelos que representan parcialmente el espacio físico en el que transcurre la vida cotidiana y que, por tanto, muchos problemas relacionados con ese espacio físico admiten una resolución geométrica” (Junta de Andalucía, 2002).
Cabe señalar que los proyectos que exponemos tienen un producto final relevante para los estudiantes que lo desarrollan y, aunque éste sea lo más llamativo del proyecto, debemos poner el acento en el proceso formativo que realizan los alumnos desde la problematización de su realidad como punto de partida, hasta la consecución de su objetivo como respuesta en el ámbito de investigación escolar que el proyecto ha planteado.

¿Por qué a Écija se le conoce cómo Ciudad de las Torres?
Con la entrada en escena de las competencias y del nuevo currículo, se nos proponía: “Valorar las Matemáticas como parte integrante de nuestra cultura, tanto desde un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual y aplicar las competencias matemáticas adquiridas para analizar y valorar fenómenos sociales como la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad de género o la convivencia pacífica” (MEC, 2006), diseñamos el proyecto “¿Por qué a Écija se le conoce cómo Ciudad de las Torres?” que consiste en la producción, en grupos de 4 o 5 estudiantes, de una maqueta de una de las múltiples torres existentes en el pueblo, y de las que ellos se sienten tan orgullosos, como respuesta a la problemática investigada.
Este es uno de los proyectos que tiene más éxito entre los estudiantes, de manera que cada año los alumnos nuevos el primer día de clase de 3º de Eso (14-16 años) preguntan cuándo se va a realizar. Además, es muy completo ya que pone una gran cantidad de procedimientos matemáticos en juego, los cuales cobran sentido para nuestros estudiantes, ya que son solicitados por ellos mismos, para poder ir avanzando en la elaboración de su producción emergente, en la elaboración de su maqueta, referida a la Torre investigada por cada pequeño grupo. De esta forma, el profesor queda realmente relegado a un segundo plano, poniéndose a disposición de los alumnos para poder cuestionar, debatir, analizar o sugerir posibilidades y niveles de complejidad. Postura que el docente ha de modular, en vez de la usual postura dirigista consistente en indicarles el camino correcto, sino que más bien la ayuda pedagógica en la gestión del aula, consiste en abrirles nuevas posibilidades, cuando éstos se encuentren bloqueados.
Los pasos que deben seguir los estudiantes y los procedimientos que deben ir superando son los siguientes:
1º. Dentro de su pequeño grupo de trabajo deben desarrollar un plan respondiendo a tres preguntas básicas:
a. ¿Qué queremos saber? ¿Qué necesitamos?
b. ¿Qué es lo que ya sabemos/tenemos?
c. ¿Qué es lo que nos falta? ¿Cómo o con qué mostramos nuestra respuesta?
2º. Deben realizar un dibujo de la Torre que van a maquetear, para sobre él ver qué distancias necesitan conocer  Representación de figuras planas.
3º. En este punto serán concientes de que no pueden medir las alturas de las figuras que forman la Torre, generando una problemática intrínseca del conocimiento matemático escolar, verdadero objeto de aprendizaje matemático. Para ayudarles en este atolladero, les proporcionaremos información sobre el hipsómetro y les pediremos que indaguen en el teorema de Thales  investigación matemática.
4º. Tendrán que construir su propio hipsómetro ya que este no se encuentra fácilmente en el mercado (afortunadamente). En la siguiente figura mostramos un hipsómetro construido por un grupo de alumnos  Interdisciplinar con la materia de Tecnología.
5º. Una vez fabricado, necesitarán ir a la Torre de la que desean realizar la maqueta para realizar las mediciones con ayuda de los elementos necesarios: cuerda, metro, hipsómetro, lápiz y papel  Métrica
6º. Una vez realizadas todas las mediciones con su hipsómetro, tal y como se muestra en la figura, han de calcular a qué medida real representa el valor leído en el hipsómetro Teorema de Thales y proporcionalidad.
7º. Es la hora pasar a la escala elegida por ellos mismos, cada una de las medidas que van a ser utilizadas para el realizar la torre  Escalas.
8º. Con las medidas de cada una de las partes, están preparados para empezar la construcción en 3D de las partes en las que han subdividido cada Torre  Desarrollo plano de las figuras geométricas y área de polígonos.

 

9º. Cada grupo de alumnos elige negociadamente, el nivel de compromiso al que desea trabajar, por este motivo no todas las producciones tendrán el mismo nivel de detalle  Realización de frisos y mosaicos.
10º. La última parte es la dedicada a explicarles a los compañeros que han aprendido, qué les ha resultado más difícil de realizar así como alguna característica, origen o curiosidad de la Torre que ellos han elegido realizar  Comunicación matemática.

 

 

 

 

 

 

 

 

Cocinando matemáticas
Podría parecer que el actual Decreto de Educación Secundaria Obligatoria en Andalucía se redacto para dar sentido al proyecto que hemos elegido para trabajar la geometría en 2º de ESO (13-15 años), cuando dice: “Es conveniente fomentar y valorar los procesos de investigación y deducción realizados para determinar las características y propiedades de las distintas formas planas y espaciales, a la vez que se valoran los procesos seguidos en el análisis, planteamiento y resolución de las situaciones y problemas de la vida cotidiana” (Junta de Andalucía, 2007).
El proyecto propuesto consiste en realizar una maqueta de la cocina de cada estudiante, como respuesta emergente al proyecto afrontado, para resolver la problemática de comunicar ¿Cómo es mi cocina? Así conseguimos trabajar todo el conocimiento propone el currículo para este nivel escolar en el área de geometría y casi de métrica. La premisa-condicionante que tenían los estudiantes era que la maqueta que realizaran debía caber en una caja que previamente debían de elegir.
En esta ocasión los pasos que siguieron los estudiantes en el proceso último de elaboración individual, fueron:
1º. Como cada proyecto, una vez indicadas las premisas, proponemos a nuestros estudiantes contestar las tres peguntas básicas de la investigación:
a. ¿Qué queremos saber? ¿Qué necesitamos?
b. ¿Qué es lo que ya sabemos/tenemos?
c. ¿Qué es lo que nos falta?¿Cómo o con qué mostramos nuestra respuesta?
2º. Comienzan, en clase, a preparar lo necesario para realizar las mediciones después en su casa. Para ello, dibujan en sucio la sección de la cocina que van a maquetear, para decidir qué medidas deben tomar  Planificación, polígonos y secciones planas.
3º. Una vez en casa, han de tomar medidas de cada una de las partes que han decidido necesarias para hacer la maqueta. Es interesante resaltar que, en este punto, se suele involucrar la familia del estudiante y, entre todos, van mejorando el croquis y tomando las medidas  Representaciones y métricas.
4º. Es el momento de pasar las medidas tomadas a la escala adecuada para que la maqueta quepa en la caja que ellos han seleccionado previamente  Escalas y proporcionalidad.
5º. Con estas medidas en la escala adecuada están en disposición de construir cada uno de los electrodomésticos y muebles de los que se compone su cocina  Desarrollo plano de figuras geométricas y áreas de polígonos.

6º. Ya están preparados para realizar el montaje de su cocina, en el que podrán incluir todo el tipo de detalles que deseen, dependiendo del tiempo de trabajo que les quede y del compromiso que hayan adquirido con el proyecto  Construcción de modelos.
7º. Preparación del proyecto técnico del trabajo realizado (portafolio de aprendizaje), en el que deben mostrar la pericia competencial alcanzada a lo largo del proyecto  Comunicación matemática.

CONCLUSIONES
Trabajando de esta manera conseguimos que nuestros estudiantes vivan en relación con las matemáticas de otra manera distinta a la habitual, generando nuevas vivencias que sistematizadas desarrollan su sistema de valores y actitudes. De esta forma los procedimientos se afianzan, ya que deben realizar el mismo ciclo interrogativo-reflexivo. Esto también conlleva la realización de un mismo procedimiento una y otra vez, por ejemplo cada vez que pasan una medida a escala, y además, lo que ocurre es que lo hacen disfrutando puesto que es para una finalidad que ellos se han propuesto, y no un ejercicio, carente de sentido para ellos, que deben realizar porque lo manda el profesor y vienen en su libro de texto.
Hay que resaltar que resulta motivadora la utilización de espacios y tiempos diferentes a los habituales donde poder encontrar información original y de primera mano. Esto ayuda a nuestros estudiantes a mirar el mundo con ojos un poco más matemáticos, a ver que “realmente” las matemáticas están por todas partes y que su conocimientos por fin son útiles.
Tampoco deberíamos desaprovechar el hecho de que ellos son los mejores transmisores del conocimiento matemático, y que cuando explican a un igual qué es lo que ha descubierto estamos cubriendo un doble objetivo. Por una parte, una vez que el alumno ha vivido una experiencia y la ha comunicado, difícilmente puede olvidarla y, por la otra parte, en general los alumnos resultan mucho más receptivos a algo comunicado por un igual con cierto entusiasmo que a lo escuchado en el aula usual de una clase de matemáticas “normal”. Por ello, los parques y las ferias de las ciencias, observatorios, museos, exposiciones y demás puntos de encuentro, resultan tan gratificantes para alumnos participantes y asistentes, y no deberíamos dejar pasar la posibilidad de participar activamente en ellas, como docentes y pomover su uso como recurso formativo en cualquier contexto.

Cuando estos procesos de resolución de problemas son potenciados, organizados y diseñados por el docente, está dando respuesta a su problemática profesional, referida al ámbito de investigación profesional (Cardeñoso y Azcárate, 2002), relativo a responder a ¿cómo diseño la intervención y el sistema de tareas formativas de mi aula? Dicha respuesta se convierte en eje articulador del desarrollo profesional del docente. Cuando en este proceso el profesor novel se encuentra amparado por un colectivo, la RedIres, desde su primer año docente es la perspectiva ideológica del grupo, su forma de crecer a través de una sistemática de problematizar, compartir y analizar las formas y respuestas que el colectivo da a la Teoria de fondo la que le sustenta.
En este contexto de comunicación, y en ambiente colaborativo, aceptar el compromiso académico de elaboración de procesos investigativos (Vega, 2007), es una oportunidad de investigar sobre aspectos que interfieren nuestra profesión y nuestro aula. En este proceso es donde se avanza en la innovación y a través de su evaluación investigativa, se va estabilizando como medio de constituir el perfil, la autoimagen o identidad profesional (Frade y Gómez-Chacón, 2009).

REFERENCIAS
Barberá. E. (1998). Portafolios para evaluar en la escuela. Evaluación. Pamplona: Ikastolen Elkartea.
Cardeñoso, JM y Azcárate, P. (2002) Una estrategia de formación de maestros de matemáticas, basada en los ámbitos de investigación profesional (AIP) en Contreras, LC y Blanco, L (Coords.) Aportaciones a la formación inicial de maestros en el ärea de Matemáticas. pp. 181-:226 Cáceres: Servicio de publicaciones de la Universidad de Extremadura.
Frade, C. y Gómez-Chacon, I. Mª (2009) Reseaching Identity an Affect in Mathematics Education. Proc. . In M. Tzekaki, M. Kaldrimidou y C. Sakodinis (Eds.) Procd. of the 33rd Conference of the IGPME (vol. I, p376). Tessaloniki, Greece: PME Education.
Freire P. (1994) Educación y Participación comunitaria. En: Nuevas perspectivas críticas en educación. Barcelona, Paidós.
Gavilán, P. (2001) Aprendizaje cooperativo en matemáticas en el nivel de Educación Secundaria Obligatoria. Proceso Global de Aprendizaje. Tesis Doctoral inédita. UNED.
JUNTA DE ANDALUCÍA (2002). Decreto 148/2002, del 14 de Mayo, por el que se modifica el Decreto 106/1992, de 9 de Junio, por el que se establecen las enseñanzas correspondientes a la ESO en Andalucía, BOJA nº 75.
JUNTA DE ANDALUCÍA (2007). Decreto 231/2007, de 31 de Julio, por el que se establece la ordenación y las enseñanzas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria en Andalucía.
LÓPEZ MELERO, M. (2004). Construyendo una escuela sin exclusiones. Una forma de trabajar con proyectos en el aula. Aljibe. Málaga.
LUCERO, M. M. (2003). Entre el trabajo colaborativo y el aprendizaje colaborativo. Revista Iberoamericana de Educación. Organización de Estados Iberoamericano, OEI (eds.). En línea http://tecnologiaedu.us.es/bibliovir/pdf/528Lucero.pdf
MEC (2006). REAL DECRETO 1631/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria
OLIVERAS, M. L. (1996) Etnomatemáticas. Formación de profesores e innovación curricular. Ed. Comares. Granada.
QUINTINA, M. y MORENO, C. (2004). Aprendizaje colaborativo y redes de conocimiento. En línea http://openseminar.flacso.edu.mx/flacsomex/wp-content/uploads/2008/04apr... [Consulta: Enero de 2010]
RODRÍGUEZ, A. (2005). Las concepciones del profesorado novel de Matemáticas de Educación Secundaria en torno a unos contenidos de Geometría en Eso. Estudio de caso. Sevilla: Memoria del Periodo de Investigación inédita, Universidad de Sevilla.
Serradó, A., Cardeñoso, J.M. y Azcárate, P. (2003) La evaluación de capacidades en educación matemática: el Portafolio, pp. 107-130 en Cardeñoso y otros (Eds) Investigación en el aula de matemáticas. La evaluación en matemáticas. Granada: SAEM “THALES” Univ. Granada.
Shulman, L. (1999). Portafolios del docente: una actividad teórica. N. Lyons, (Comp.) El uso de portafolio. Propuestas para un nuevo profesionalismo docente. Buenos Aires Amorrortu.
van den Heuvel-Panhuezen, M., & Becker, J. (2003). Towards a didactic model for assessment design in mathematics education. In A. J. Bishop & M. A. Clements & C. Keitel & J. Kilpatrick & F. K. S. Leung (Eds.), Second International Handbook of Mathematics Education (pp. 689-716). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
Vega, M. (2007). Proyectos de trabajo en el aula de matemáticas: una metodología para el aprendizaje significativo en la ESO. Estudio de un caso. Memoria del Diploma de Diploma de Estudios Avanzados en Matemáticas. Didáctica de la Matemática. Granada (en prensa).
Webb, D. C. (2000). Variations in Teachers' Classroom Assessment Practice. Paper presented at the Annual Meeting of the American Educational Research Association, New Orleans, LA.
VYGOSKY (1986) Pensamiento y Lenguaje. Paidos. Barcelona.

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